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函数的概念剖析
定义：一般地设A、B是两个非空数集，如果按照某一对应法则f，对于A中的每一个元素x，在B中有唯一的元素y与它对应，这样的对应叫做A到B的一个函数，通常记为y=f(x),x∈A，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。
刚接触这个概念学生对这个概念一无所知，而这个概念在教学中非常重要，怎样才能理解好这个概念呢？
从概念的关键词出发：（1）A、B是两个非空数集：这句话告诉学生A、B不仅是集合，而且还是数集，且为非空数集，其它的任何集合都不行。并且举例说明，例：平面直角坐标系上的点，与点的坐标是一一对应，它是不是函数？回答：不是函数。因为平面直角坐标系上的点是点集，它不是数集。平面上直线y=x上的点的横坐标与纵坐标的关系，它是函数，因为横坐标与纵坐标是定义在数集上的数。再例如：电影院的位置与电影票的票号是一一对应，位置是一种事物，不是数集，所以它不是函数；电影票上面的号码与坐位上的号码是定义在数集上的，所以它是函数。
对这句话的理解：对于A中的每一个元素x，在B中有唯一y值与它对应”,
ab
a
b
c
1
2
3
A
B
这个图只要a、b、c表示的是数，那么这个图反映的是一一对应，当然它是函数。因为它符合A中的每一个值a、b、c，在B中有唯一的元素1、2、3与它对应，是函数。
±
±1
±2
±3
1
4
9
A
B
这个图反应的是在集合A中有两个或两个以上的元素对应集合B中唯一的元素。符合定义中的“A中的每一个元素在B中有唯一的元素和它对应”。这是多对一的一种关系，是函数。
a
a
b
c
1
2
3
4
A
B
这个图反应的是集合A中的每一个元素在B中有唯一的值和它对应，在集合B中可以有多余的元素，也符合“A中的每一个元素在B中有唯一的元素和它对应”。这一定义。这也是函数。
1
1
4
9
±1
±2
±3
A
B
1493123AB
1
4
9
3
1
2
3
A
B
这个图也违反了函数定义中的“每个x的值有唯一的y值和它对应”，因为在集合A中元素3找不到y值和它对应。所以它也不是函数。例如函数y=（x∈R）。当x=3时找不到函数值和它对应。所以y=在实数范围内不是函数。
xy
x
y
o
x
y
o
x
y
o
（这也不是函数，因为一个x的值对应二个y的值）（这也不是函数，因为一个x的值对应两个y的值）（这不是函数，因为一个x的值对应二个y的值）
（这也不是函数，因为一个x的值对应二个y的值）
（这也不是函数，因为一个x的值对应两个y的值）
（这不是函数，因为一个x的值对应二个y的值）
x
x
y
o
x
y
o
x
y
o
（这是函数，因为一个y的值对应无数个x的值，这是正弦函数）
（这是函数，因为一个y的值对应无数个x的值，这是正弦函数）
（这是函数，因为这是一个y的值对应二个x的值，这是二次函数）
（这不是函数，因为一个x的值对应二个y的值。）
（这不是函数，因为一个x的值对应二个y的值。）
x
x
y
o
x
y
o
x
y
o
（这是余弦函数，一个y的值对应无数个x的值，符合多对一）
（这是余弦函数，一个y的值对应无数个x的值，符合多对一）
（这个图象中既有一对多，也有多对一，不是函数
（这个图象中既有一对多，也有多对一，不是函数）
（这是函数，这个函数图象有多对一的对应关系，也有一一对应的关系）