篇一:《应用MATLAB求解规划问题》
第5章 优化问题
1 线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB0解决的线性规划问题的标准形式为
min f?xx?Rn
sub.toA?x?b
Aeq?x?beq
lb?x?ub
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MATLAB0版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函数linprog取代了MATLABx版中的lp函数。当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在0版中仍可使用。
函数 linprog
格式 x=linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to A?x?b线性规划的最优解。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束Aeq?x?beq，若没有不等式约束
A?x?b，则A=[ ]，b=[ ]。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范围lb?x?ub，若没有等式约束
Aeq?x?beq ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数
[x,fval]=linprog(?) % 返回目标函数最优值，即fval=f ' *x。
[x,lambda,exitflag]=linprog(?) % lambda为解x的Lagrange乘子。
[x, lambda,fval,exitflag]=linprog(?) % exitflag为终止迭代的错误条件。
[x,fval, lambda,exitflag,output]=linprog(?) % output为关于优化的一些信息
说明 若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x；若lambda=lower 表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。
例5-1 求下面的优化问题
min ?5x1?4x2?6x3
sub.to x1?x2?x3?20
3x1?2x2?4x3?42
176
3x1?2x2?30
0?x1,0?x2,0?x3
解
>>f=[-5; -4; -6];
>>A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0];
>>b=[20; 42; 30];
>>lb=zeros(3,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
结果为
x=%最优解
0.0000
10000
0000
fval=%最优值
-70000
exitflag=%收敛
1
output=
iterations: 6 %迭代次数
cgiterations: 0
algorithm: 'lipsol' %所使用规则
lambda=
ineqlin: [3x1 double]
eqlin: [0x1 double]
upper: [3x1 double]
lower: [3x1 double]
>> lambda.ineqlin
ans=
0.0000
5000
0.5000
>> lambda.lower
ans=
0000
0.0000
0.0000
表明不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
2 foptions函数
对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为
options(1)-参数显示控制（默认值为0）。等于1时显示一些结果。
options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。
options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。
options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。
options(5)-算法选择，不常用。
177
options(6)-优化程序方法选择，为0则为BFCG算法，为1则采用DFP算法。
options(7)-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用立方插算法。
options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda )
options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。
options(10)-函数和约束估值的数目。
options(11)-函数梯度估值的个数。
options(12)-约束估值的数目。
options(13)-等约束条件的个数。
options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数）
options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。
options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。
options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。
options(18)-步长设置 (默认为1或更小)。
Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和optimget。
3 非线性规划问题
1 有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为minf(x) sub.to x1?x?x2 x
在MATLABx中使用fmin函数求其最小值。
函数 fminbnd
格式 x=fminbnd(fun,x1,x2) %返回自变量x在区间x1?x?x2上函数fun取最小值
时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB
自定义函数的函数柄。
x=fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选项
[x,fval]=fminbnd(?) % fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag]=fminbnd(?) %xitflag为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(?) % output为优化信息
说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。
例5-2 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。
x3?cosx?xlogx f(x)?ex
解>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)
x=
0.5223
178
fval=
0.3974
exitflag=
1
output=
iterations: 9
funcCount: 9
algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
例5-3 在[0，5]上求下面函数的最小值f(x)?(x?3)3?1
解先自定义函数在MATLAB编辑器中建立M文件为
function f=myfun(x)
f=(x-3).^2 - 1;
保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令
>> x=fminbnd(@myfun,0,5)
则结果显示为
x=
3
2 无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为minf(x) x
其中x为向量，如x?[x1,x2,?,xn]
在MATLABx中使用fmins求其最小值。
命令 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值
函数 fminsearch
格式 x=fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或
MATLAB自定义函数的函数柄。
x=fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset
[x,fval]=fminsearch(?) %最优点的函数值
[x,fval,exitflag]=fminsearch(?) % exitflag与单变量情形一致
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(?) %output与单变量情形一致
注意fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
32?4x1x3例5-4 求y?2x12?10x1x2?x2的最小值点
解>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0])
结果为
X=
0016 0.8335
或在MATLAB编辑器中建立函数文件
function f=myfun(x)
f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;
保存为myfun.m，在命令窗口键入
>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])
179
结果为
X=
0016 0.8335
命令 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值
函数 fminunc
格式 x=fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点
x=fminunc(fun,x0,options) % options为指定优化参数
[x,fval]=fminunc(?) %fval最优点x处的函数值
[x,fval,exitflag]=fminunc(?) % exitflag为终止迭代的条件，与上同。
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(?) %output为输出优化信息
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(?) % grad为函数在解x处的梯度值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(?) %目标函数在解x处的海赛
（Hessian）值
注意当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。
2例5-5 求f(x)?3x1?2x1x2?x22的最小值。
>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';
>> x0=[1 1];
>> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)
结果为
x=
0e-008 *
-0.7591 0.2665
fval=
3953e-016
exitflag=
1
output=
iterations: 3
funcCount: 16
stepsize: 2353
firstorderopt: 6772e-007
algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'
grad=
0e-006 *
-0.1677
0.0114
hessian=
0000 0000
0000 0000
或用下面方法
>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')
fun=
Inline function:
fun(x)=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2
>> x0=[1 1]；
>> x=fminunc(fun,x0)
180
篇二:《matlab规划问题》
数学规划模型的matlab求解
数学规划模型是优化模型的一种，包括线性规划模型(目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题); 非线性规划模型(目标函数或者约束条件是非线性的函数); 整数规划(决策变量是整数值得规划问题); 多目标规划(具有多个目标函数的规划问题)；目标规划(具有不同优先级的目标和偏差的规划问题) 动态规划(求解多阶段决策问题的最优化方法) 。数学规划模型相对比较好理解，关键是要能熟练地求出模型的解。
以下是解线性规划模型的方法
线性规划问题
线性规划问题的标准形式为
min f ' *x
sub.toA*x<b
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。
MATLAB中，线性规划问题（Linear Programming）的求解使用的是函数linprog。
函数 linprog
格式 x=linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to A*x<=b 线性规划的最优解。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束 ，若没有不等式约束 ，则A=[ ]，b=[ ]。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范围 ，若没有等式约束 ，则Aeq=[ ]，beq=[ ] x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数
[x,fval]=linprog(…) % 返回目标函数最优值，即fval=f ' *x。
[x,lambda,exitflag]=linprog(…) % lambda为解x的Lagrange乘子。
[x, lambda,fval,exitflag]=linprog(…) % exitflag为终止迭代的错误条件。
[x,fval, lambda,exitflag,output]=linprog(…) % output为关于优化的一些信息
说明 若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x；若lambda=lower 表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。
非线性规划问题
利用函数fminbnd求有约束的一元函数的最小值
格式 x=fminbnd(fun,x1,x2)
x=fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选项
[x,fval]=fminbnd(…) % fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag]=fminbnd(…) %xitflag为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…) % output为优化信息
命令 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值
函数 fminsearch
格式 x=fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x=fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset
[x,fval]=fminsearch(…) %最优点的函数值
[x,fval,exitflag]=fminsearch(…) % exitflag与单变量情形一致
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(…) %output与单变量情形一致
注意fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
命令 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值
函数 fminunc
格式 x=fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点
x=fminunc(fun,x0,options) % options为指定优化参数
[x,fval]=fminunc(…) %fval最优点x处的函数值
[x,fval,exitflag]=fminunc(…) % exitflag为终止迭代的条件，与上同。
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(…) %output为输出优化信息
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(…) % grad为函数在解x处的梯度值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…) %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值
注意当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。
利用fmincon求线性有约束的多元函数的最小值
函数 fmincon
格式 x=fmincon(fun,x0,A,b)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)