一、引言
近半个世纪以来，皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学，尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出：“动作是智慧的根源”，①任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作，数学运算是一种广义的动作。②这些观念为数学课堂教学所采纳，目前小学数学普遍采取动手操作（或以直观方式演示有关操作）的方法。
然而，对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法，却缺乏深入的研究，许多问题都停留在知其然不知其所以然的层面——我们知道数学运算是一种广义的动作；但它除了是一种动作之外，还存在哪些区别于一般动作的规定性？同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧；但能否认为任意的动手操作都有益于儿童智慧的发展？在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作？
本文试图就以上问题作些探讨，以期引起更深入的研究，并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益。
二、数学运算的内在规定性
1.反身性数学运算“甚至在其较高的表现中，也是正在采取行动与协调行动，不过是以一种内在的与反省的形式进行的罢了……”③这里“反省”与反身、反思是同义的。
皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识；另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者带来关于客体的知识；后者带来数理逻辑知识。
［实例］一个儿童摆弄10个石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重量”与“光滑度”是关于对象（石子）本身的知识。此外，儿童还有另一类动作，他将10个石子排列成不同的形状，沿着不同的方向点数它们，其总数“10”总是不变的。这里，儿童将手指一一地（不重复也不遗漏）点向10个石子，是具体动作；从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变，则是一种反思，是反过来对自身的具体动作进行思考。具体动作可以有很多种（可以从不同的石子开始，可以沿着不同的方向进行），但总数的“10”却是恒定的。只有通过反思，体会到这种“恒定”，儿童才真正学会了计数。
这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作，但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要。儿童能一一地点数石子，我们也能训练一只小鸡——地啄石子，但小鸡不会了解“10”这个数，因为它没有反思。
数学运算因其反身性，还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协调与转换。乘法是对加法的“运算”；乘方又是对乘法的“运算”。
2.可逆性“运算是一种可以逆行的行动，即它能向一个方向进行，也能向相反的方向进行。”④我们可以把1和2相加得到3；反过来，也可以用3减2而还原为1。任何一种运算，总有一个与之对应的逆运算。
学生用减法验算加法（或反过来用加法验算减法），用除法验算乘法（或反过来用乘法验算除法），就是因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合”（加或乘）的结果，我们可以用“分”的动作（减或除）使其还原到初始状态。
可逆性可以区分为两类，一类是反演可逆（1＋2＝3，反过来3－2＝1）；一类是互反可逆（6比2多4，反过来2比6少4）。前者表现为相反的操作；后者表现为次序的逆向转换。
3.结合性运算“是可以绕道迂回的，通过两种不同的方法可以获得相同的结果”。⑤这就是所谓结合性。具体到小学数学教学中，结合性体现在两个方面。
其一，体现在运算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交换律）；3×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律）。这里，每个等式两边是不同途径的运算，但其运算结果却是恒等的；其二，体现在问题解决的一题多解方面。
问题：男生和女生共植树450棵，已知每个同学植树5棵，有男生46人。问：女生多少人？
对于这一问题可以先求出女生植树多少棵，再除以5，得出女生人数：（450－5×46）÷5＝44（人）；也可以先求两个班共有多少人，再减去男生46人，得出女生的人数：450÷5－46＝44（人）。两种解法，具体途径不同，但结果一样。
至此，我们将可逆性与结合性综合起来考察，则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素”。反演可逆是以相反的运算（如：以减法来验算加法）使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换，6比2多4，2比6少4，这里差集“4”是不变的。在运算规则里，运算途径改变了，但运算结果不变。在问题解决中，具体解法可以各异，但答案是唯一（不变）的。
我们说，数学运算是一种转换。在这种转换过程中，并非所有的东西都发生了改变，总是隐含着某种不变的因素。正是“不变因素”的存在，才使转换成为可能。
4.结构性结构性运算，就其现实的存在方式而言，“包括复杂的运算体系，而不是被看作先于这些体系成分的那些孤立的运算。”⑥数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。首先，每一种数学运算本身就是一个结构化的动作。加法包括“合”的动作，也包括计其总数据的动作（这在学龄前儿童的实物操作中，可观察到；小学一年级儿童，因熟练而逐渐简约化）；其次，各种运算联合起来，又构成一个大的结构，加是“合”的动作，减是“分”的动作；乘是加（或合）的简便运算，除是减（或分）的简便运算；加减互为逆运算，乘除互为逆运算。这许多关系，使四则运算联合成一个大的整体。
三、课堂教学中，指导学生动手操作应注意的问题
在明确了数学运算的内在规定性之后，我们将依照这些规定性，提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注意的问题。
1.引起反省从以上分析中我们了解到，数学运算是一种反思，具体动作之后的反思比具体动作更为重要。具体到课堂教学中，我们在指导学生动作操作时，不应停留在为操作而操作的层面；而应引导学生对其操作进行思索。以分数概念的教学为例，通常的教法是将分数的具体“操作”和盘托出、呈现给学生。如：将一个饼平均分成两块，每块是它的.1／2。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿，而不能调动学生内部的思考过程。
一般而言，分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前，儿童能用加减法层面的“差集”（6比2多4）或乘除法层面的“倍数”（6是2的3倍）来表示二数比较关系。在倍数中，比较量一般大于（或等于）标准量；分数的引进是要解决一个全新的问题：当比较量不足一个标准量时，如何表示二数关系。
关于分数概念，这里设计了一种与通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起学生思考。
关于“分数概念”的课堂设计：
准备：在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段，准备一根60厘米长的木棒（无刻度），线段长度分别是木棒的3倍、1倍、1／3。
木棒────
白线：───────────────────白线长度是木棒长度的3倍
红线：────────红线长度是木棒长度的1倍
绿线：─绿线长度是木棒长度的？
教师［演示］：用木棒分别量白线与红线，并板述；然后量绿线，提问。
教师：绿线长度是木棒长度的多少？
学生：……没有一棒长。
教师：没有“一棒”长，怎么表示？
学生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和绿线都量一量。
教师：（量得绿线长20厘米，木棒长60厘米）那么，绿线长度是木棒长度的多少？
60厘米
学生：木棒是绿线的3倍。
教师：这是我们以前学过的“倍数”；现在，我们反过来说：以木棒为标准，绿线是木棒的多少？
［演示］比着绿线将木棒3等分（用粉笔在木棒上画刻度）
［继续提问］现在想一想，怎样表示“绿线是木棒的多少？”）
……
导出：将木棒3等份，绿线是3份中的1份。
进而导出：绿线是木棒的1／3。
并将“倍数”与“分数”统一起来：都可表示两个数的比较。
这种方案较之于“和般托出”直接告诉学生的教法，更能调动学生积极的思考过程。也只有进行这样的思考，儿童才能真正明确分析所蕴含的内部操作。
将有关“操作”和盘托出，不注重激起学生“反思”的教法，与两种不恰当的观念有关。其一是把数学运算等同于具体动作；其二是认为内在运算是对外在动作的简单模仿。其实，数学运算应该包括三个呈递进关系的成分：（1）具体操作；（2）对具体操作的反省与反思；（3）在反思过程中进行某种转换或重组。
转换是对具体动作的转换，重组是对原有的、已习得的操作的重组。儿童在接触到分数之前，已学会了“比较”（一个数是另一个数据的几倍）与“等分”（除法）。现在面临新的问题：比较量不足一个标准量。在上述方案中，问题解决的过程，是学生积极思考的过程，也是重组原有“比较”与“等分”等内部操作而构成分类操作的过程（分数的内部操作包括：比较二数；等分标准量等）。
2.体会“必然”在上一小节中，我们强调在让学生动作操作的同时，应引导他们对具体动作进行反思，并在反思过程中进行转换与重组。但数学运算还具备可逆性与结合性的特征也就是说在转换过程中，并非所有的因素都发生改变，而总隐含着某种不变的因素。由于某些不变因素的存在，数学运算显示出一种必然性。1＋2一定等于3；3×5一定等于15；π＝3.1415…是圆周与直径的比率，不是人为规定的；在两个班共同植树的实例中，解法不同而得数是不变的。
对数学运算的必然性的认识，往往是一种不自觉的“必然之感”。这种必然之感的获得，是儿童形成数学运算的标志。
指导学生认识数学运算的必然性，可利用日常的实例。数学运算往往都有其现实原型，而且有些原型能明晰地表征相应运算的涵义。如：教乘法口诀时，可让学生数一数一面窗子的格数。如果竖着有4行，每行5格，那么就是5×4＝20格。四五二十的口诀就存在于我们对这扇窗子的计数活动之中。它不是人为的任意编出的口诀，而是“必然”的。
3.融会贯通数学运算是以结构的方式而存在的。结构化不是将不同的运算（或操作）简单地拼凑成一个整体，而是要消除各种运算（或操作）之间的“矛盾”、以达到相互协调。
“关于‘分数概念’的课堂设计”将分数概念放在数概念的扩展（从倍数到分数的扩展）之中，具体设计了一个问题情境：比较量不足一个标准量（此前，在“倍数”中，比较量总是大于或等于一个标准量），如何表示二数关系。学生面对这一“矛盾”、积极思考。消解矛盾的过程，同时也是各种操作（倍数与分数）协调、统一而融会贯通的过程。
四、结语
综上，可以明确：（一）对小学生而言，数学运算既包括具体的动手操作，也包括对动手操作的思索。后者比前者更为重要。（二）数学运算总是隐含着“不变的因素”，具体体现在逆向运算、逆向转换（6比2多4，那么2比6少4）、运算规则以及问题解决的一题多解等方面。（三）数学运算总是以结构化的方式而存在。
在于数学运算的内在规定性，本文提出（一）课堂教学中，在指导学生动手操作（或演示有关操作）时，应引起“反省”。小学儿童离不开具体动作的支持，但对具体动作的思索更为重要。（二）在指导学生动手操作的过程中，让学生体会到“必然”之感，必然之感的获得，是数学运算形成的标志。（三）在动作操作过程中，指导学生通过思考，将各种运算联成整体，融会贯通。
①②⑤⑥皮亚杰：《智慧心理学》，中国社会科学出版社1992年版，第33页；第18—19页。第36页；第42页。
③皮亚杰：《教育科学与儿童心理学》，教育文化出版社1981年版，第30页。
④皮亚杰：《发生认识论》，《教育研究》，1979年第3期，第91页。